求证1/2^2+1/3^2+... ...+1/n^2<(n-1)/n

1/2^2+1/3^2+... ...+1/n^2<(n-1)/n
等价于 1-（1/2^2+1/3^2+... ...+1/n^2）>1/n

n=1 2 3 时都成立 设n=k时成立 即 需证n=k+1时成立
n=k时 有 1/2^2+1/3^2+... ...+1/k^2<(k-1)/k
so 1/2^2+1/3^2+... ...+1/k^2+1/(k+1)^2<(k-1)/k+1/(k+1)^2
然后 放大<(k-1)/k+1/k(k+1)=k/(k+1)

1/n^2<1/n(n-1)=1/(n-1)-1/n
1/2^2+1/3^2+... ...+1/n^2
<1/1-1/2+1/2-1/3+……+1/(n-1)-1/n
=1-1/n=(n-1)/n